საძიებელი

ჩემი სკოლა

ინფორმატიკა და
   ინფორმაციული
   ტექნოლოგიები

მეცნიერება
   და ტექნიკა

 მემატიანე
  ლიტერატურული
    გვერდი

  ჩვენი  
    შემოქმედება

  სამყარო და
    მშვენიერება

  ეს საინტერესოა
  სახალისო
  ვინ ვართ ჩვენ

პითაგორა და მისი თეორემა

შესავალი

 ,,ვინ არის პითაგორა?" - ამ კითხვაზე ადამიანთა უმრავლესობა პასუხობს, რომ პითაგორა არის ანტიკური ხანის მეცნიერი. მან ჩამოაყალიბა და დაამტკიცა თეორემა, რომელსაც მისი სახელი ეწოდა. ენციკლოპედიაში წერია, რომ, გარდა ამისა, პითაგორას მიეწერება მთელ რიცხვთა თვისებებისა და პროპორციების შესწავლა, თეორემის დამტკიცება და სხვა.
სიტყვა ,,მიეწერება" იმის მანიშნებელია, რომ ჩვენამდე არ არის მოღწეული ზუსტი წერილობითი ცნობები, თუმცა ირიბი დამამტკიცებელი საბუთები მის ავტორობას მიუთითებს.
პითაგორა სამოსელი ისტორიული პიროვნებაა. მაგრამ რომელია მისი აღმოჩენები და რომელი - მისი მოწაფეების, ძნელი დასადგენია.
 

ბიოგრაფია

პითაგორა წარმოშობით არისტოკრატთა წრიდან იყო და შესანიშნავი განათლება მიიღო. მამამისი იყო იუველირი. პითაგორა არ დაკმაყოფილდა მიღებული ცოდნით და გაემგზავრა ხმელთაშუა ზღვის აღმოსავლეთ ქვეყნებში, ეგვიპტესა და ბაბილონში, რათა სხვა ხალხების სიბრძნესაც გასცნობოდა. არსებობს გადმოცემა, რომ ეგვიპტეში ყოფნისას ქურუმებმა, რომლებიც საიდუმლოდ ინახავდნენ მეცნიერულ და მისტიკურ ცოდნას, პითაგორას გააცნეს თავიანთი წმინდა მეცნიერება. ქურუმთა მეცნიერებას ნაზიარები ნეფიტები ვალდებულნი იყვნენ საიდუმლოდ შეენახათ მიღებული ცოდნა, მაგრამ პითაგორამ დაარღვია ფიცი - მოგვიანებით ჩამოაყალიბა საკუთარი სკოლა და რელიგიური მსოფლმხედველობა.

ბაბილონში შვიდი წლის განმავლობაში სწავლობდა ქალდეველთა მაგების კაბალურ მეცნიერებებს, მისტიკურ მეცნიერებას რიცხვთა შესახებ, მუსიკის კანონებს. ამავე დროს მისი მიღწევები იმდენად მნიშვნელოვანი იყო, რომ ცნობები მისი დიდების შესახებ გავრცელდა არა მარტო მთელ ბაბილონში, არამედ კიდეც მის სამშობლოს - კუნძულ სამოსსაც (ეგეოსის ზღვაში) მიწვდა. როდესაც პითაგორა დაბრუნდა კუნძულზე, მას შეხვდნენ როგორც უდიდეს მეცნიერს.

ჩვ.წ.აღ-მდე V ს.-ში საბერძნეთში დაიწყო დემოსის (ხელოსნებისა და მიწის წვრილი მესაკუთრეების) ბრძოლა არისტოკრატიის წინააღმდეგ, რამაც თანდათან გამოიწვია ტირანიის ჩამოყალიბება და გამყარება. კუნძულ სამოსზე დამყარდა პოლიკრატეს ტირანია. პითაგორამ პროტესტის ნიშნად დატოვა კუნძული და გადავიდა სამხრეთ იტალიის მშვენიერ ქალაქ კროტონში. იგი თვლიდა, რომ თავისუფალი ადამიანი დესპოტიზმს არ უნდა დაემორჩილოს.

კროტონში პითაგორამ დააარსა სამეცნიერო სკოლა, რომელიც წააგავდა არისტოკრატთა ფარულ საზოგადოებას, მისი წევრები მკაცრად იცავდნენ გარკვეულ წესებს. ერთერთი ასეთი წესი იყო მიღებული ცოდნის გასაიდუმლოება. ეს პითაგორამ ეგვიპტელი ქურუმებისგან გადაიღო. პითაგორელები იყოფოდნენ მოწაფეებად და მსმენელებად. მსმენელები ვერ ხედავდნენ მასწავლებელს. სამეცადინო ოთახი გაყოფილი იყო ტიხრით ორ ნაწილად, ერთში პითაგორა მეცადინეობდა მოწაფეებთან, მეორეში კი იმყოფებოდნენ მსმენელები.

მრავალრიცხოვანი მოწაფეები და მსმენელები უდიდეს პატივს სცემდნენ თავის მასწავლებელს - პითაგორას ამიტომ, იმ ნამოღვაწარში, რაც პითაგორელებმა დატოვეს, შეუძლებელია გავმიჯნოთ თვით პითაგორას აღმოჩენები მისი მიმდევრების იდეებისგან. (ყველაფერი მას მიეწერებოდა).

ამ სკოლის წევრები არა მარტო მეცნიერებით იყვნენ დაკავებულნი, არამედ ცდილობდნენ, გავლენა მოეხდინათ ქალაქის პოლიტიკურ ცხოვრებაზეც, გარდა ამისა, ეს იყო გარკვეული რელიგიური ორდენი - თავისებური (საიდუმლო) მონაზონთა ორდენი, მაგრამ სხვა სექტებისგან განსხვავებით, პითაგორელები სულის განწმენდისა და ღმერთთან მიახლოების საშუალებად თვლიდნენ მათემატიკას. მათემატიკა იყო მათი რელიგიის ძირითადი ნაწილი და როგორც ქრისტიანობის სიმბოლოა ჯვარი, მუსულმანობის - ნახევარმთვარე, პითაგორელებისთვის მნიშვნელოვანი სიმბოლო იყო პენტაგრამა - წესიერი ხუთკუთხა ვარსკლავი.
არისტოკრატიის წინააღმდეგ დემოსის ბრძოლამ სამხრეთ იტალიასაც მიაღწია. კროტონში ეს ბრძოლა მიმართული იყო პითაგორასა და მისი ორგანიზაციის წინააღმდეგ. დაახლოებით ჩვ.წ.ღ-მდე 510 წელს კავშირი დარბეულ იქნა და პითაგორელები გაიქცნენ. პითაგორამ თავის მოწაფეებთან ერთად თავი შეაფარა ქალაქ ტარენტუს, მაგრამ აქედანაც მოუწიათ წასვლა. ქალაქ მერაპონტში, სადაც დაიღუპა კიდეც.
 

პითაგორელები მათემატიკაში

პითაგორელები აგროვებდნენ აბსტრაქტულ მათემატიკურ ფაქტებს და აერთიანებდნენ მათ თეორიულ სისტემებში. მაგ.: არითმეტიკიდან ცალკე საკვლევ სფეროდ გამოყოფილი იქნა ნატურალურ რიცხვებზე ოპერაციების თეორია. მოძებნილი იქნა მარტივი არითმეტიკული პროგრესიების ჯამის პოვნის ხერხები.

პითაგორას სახელთანაა დაკავშირებული აგრეთვე თეორიები არითმეტიკული, გეომეტრიული და ჰარმონიული პროპორციებისა და საშუალოების შესახებ. პითაგორელები დაკავებულნი იყვნენ მრავალკუთხედების, სამკუთხედების და ე.წ. ვარსკვლავური მრავალკუთხედების თვისებების შესწავლით (ცხადია, დიდი მნიშვნელობა ენიჭებოდა პენტაგრამის შესწავლას).
ძველბერძნული მათემატიკის მახასიათებელი თავისებურებაა ლოგიკური დამტკიცებები, რაც პითაგორას სკოლიდან იღებს სათავეს. შესაძლოა, პითაგორას სკოლას კავშირი აქვს მსგავსების თეორიასთანაც.

პითაგორას მათემატიკის ძირითადი ცნებაა რიცხვი. ,,რიცხვი � ეს არის სამყაროს კავშირი და კანონი, ძალა, რომელიც ბატონობს ღმერთებზეც და მოკვდავებზეც, პირობა ყოველივე განსაზღვრულისა, ყოველივე შეცნობადისა." პითაგორელები რიცხვებს შორის კავშირში ეძებდნენ მისტიკურ საიდუმლოებებს.

რიცხვების შესახებ მოძღვრებაში დიდი ადგილი ეკავა მუსიკასაც. პითაგორამ დაადგინა, რომ ყურისთვის სასიამოვნო ჟღერადობა მიიღება, თუ ამ ბგერების გამომცემი სიმების სიგრძის შეფარდებაა 1:2; 2:3; 3:4. ციფრები 1,2,3,4 თამაშობდა განსაკუთრებულ როლს, მათ ეძახდნენ ტეტრაქტისს.

პითაგორელების უდიდესი აღმოჩენა იყო სიდიდეების არათანაზომვადობა. თვით პითაგორელებისთვის ეს აღმოჩენა იყო გამაოგნებელი. მონაკვეთების არათანაზომვადობა აღმოჩენილი იყო კვადრატში - ფიგურაში, რომელიც ითვლებოდა ყველაზე სრულყოფილად. ამ აღმოჩენამ დაარღვია ,,სამყაროს რიცხვითი ჰარმონია."

აღმოჩნდა, რომ ნებისმიერი რიცხვი შეიძლება წარმოვადგინოთ გეომეტრიულ სიდიდედ, მაგალითად მონაკვეთის სახით, თუმცა ნებისმიერი მონაკვეთი ვერ გამოისახება რიცხვით (ეს, ცხადია, ეხება რაციონალურ რიცხვებს).

გადმოცემის თანახმად, როდესაც აღმოაჩინეს კვადრატის დიაგონალის არათანაზომვადობა მის გვერდთან, პითაგორამ ეს მიიჩნია ქაოსის დასაწყისად და ბრძანა ამ აღმოჩენის გასაიდუმლოება.

მათემატიკისათვის ეს აღმოჩენა წარმოუდგენლად ფასდაუდებელია. მონაკვეთთა შეცნობის მომენტში, მათემატიკაში შემოდის რთული თეორიული აბსტრაქცია. ამას ჰქონდა დიდი ფილოსოფიური და მეთოდოლოგიური მნიშვნელობა მათემატიკის მომავლისათვის.
 

პითაგორას თეორემა
 

პითაგორას სახელს ატარებს თეორემა: მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობი ტოლია კათეტებზე აგებული კვადრატების ფართობთა ჯამის. სამართლიანია შებრუნებული მტკიცებულებაც: თუ სამკუთხედის გვერდები a, b, c აკმაყოფილებენ პითაგორას პირობას:  a² + b² = c², მაშინ სამკუთხედი იქნება მართკუთხა, c გვერდის პირდაპირ მდებარე მართი კუთხით.

ის, რომ ეს თეორემა ეკუთვნის პითაგორას, ამტკიცებდა ძველი ბერძენი მეცნიერი და ისტორიკოსი პლუტარქე (I ს.) და ძველი ბერძენი მწერალი და ისტორიკოსი პროკლე (V ს.). გადმოცემის თანახმად, ამ აღმოჩენის საპატივცემულოდ, პითაგორამ ღმერთებს შესწირა ასი ხარი.

დიდხანს თვლიდნენ, რომ პითაგორამდე ეს თეორემა არ იყო ცნობილი, ამიტომაც დაარქვეს მისი სახელი, მაგრამ ცნობილია, რომ პითაგორამდე მას იყენებდნენ ძველი ეგვიპტელები, ბაბილონელები, ჩინელები, ინდუსები და ძველი სამყაროს ხალხები სხვადასხვა ამოცანების ამოხსნისას. პრაქტიკაში მართი კუთხის ასაგებად (ანუ ურთიერთმართობული წრეების ასაგებად) იყენებენ სამკუთხედს, რომლის გვერდებია 3, 4, 5, რაც, ცხადია, ცნობილი იყო ძველი აღმოსავლეთის ხალხებისათვის. სწორედ ასეთი პროპორციებითაა ნაკვეთი არქეოლოგების მიერ ნაპოვნი ჰეფრენის პირამიდის ფილები. საინტერესოა ის ფაქტიც, რომ ხეოფსის ცნობილ პირამიდაში ე.წ. სამეფო ოთახის ზომებს აქვს სწორედ 3, 4, 5 ციფრებთან კავშირი.

ძველი ინდოეთის მათემატიკური ცოდნის ფასეულ წყაროს წარმოადგენს წიგნი ,,თოკის წესები" (სულვა-სუტრა), რომელიც მიეკუთვნება ძვ.წ.აღ-ის VII-V ს-ებს. წიგნის დიდი ნაწილი დათმობილი აქვს მართი კუთხის, კვადრატის, სამკუთხედების აგებას. მასში მოყვანილია პითაგორას თეორემაც.
ამრიგად, მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებს შორის დამოკიდებულების აღმოჩენის მიკუთვნება პითაგორასთვის არ შეიძლება. მან მხოლოდ მოგვცა ამ თეორემის პირველი განზოგადება და მკაცრი დამტკიცება, გადაიტანა ეს მტკიცებულება პრაქტიკიდან მეცნიერებაში.

ბუნებრივია, რომ პითაგორელებისთვის, რომლებიც ციფრებში მისტიკას ხედავდნენ, განსაკუთრებულ ინტერესს წარმოადგენდნენ სამკუთხედები, რომელთა გვერდები გამოსახული იყო მთელი რიცხვებით და აკმაყოფილებდნენ პირობას:  a² + b² = c². ასეთ სამკუთხედებს ეწოდებათ პითაგორას სამკუთხედები.

ამიტომ, თეორემის დამტკიცებასთან ერთად, პითაგორელებმა მიაგნეს ე.წ. ,,პითაგორას" რიცხვების (n,  (n²-1)/2,  (n²+1)/2, სადაც n კენტი რიცხვია) სამეულის უსასრულო მწკრივის პოვნის წესს.

a	b	c
3 5 7 8 9 12	4 12 24 15 40 35	5 13 25 17 42 37

მოგვიანებით აღმოჩენილ იქნა აგრეთვე სხვა დამოკიდებულებები, რომლებიც იძლევა,  "პითაგორას რიცხვების" პოვნის საშუალებას. მაგ.: პლატონის თანახმად, ,,პითაგორას" სამეული   შეიძლება  მოიძებნოს შემდაგი  სახითაც:      n; (n/2)²-1; (n/2)²+1, სადაც  n ლუწი რიცხვია.

აი, ,,პითაგორას" სამეულის რამდენიმე რიცხვის ცხრილი:

მათემატიკის ისტორიკოსები თვლიან, რომ პითაგორას თეორემა ჯერ დაამტკიცეს ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედებისთვის. ეს სამკუთხედები ხშირად გვხვდება ორნამენტებში და წააგავს კვადრატებისა და მისი დიაგონალების ბადეს. როგორც  ნახ. 1-დან ჩანს, იმ კვადრატის ფართობი, რომელიც აგებულია ტოლფერდა მართკუთხა სამკუთხედის ჰიპოტენუზაზე, ტოლია კათეტებზე აგებული კვადრატების ფართობთა ჯამის.

მართლაც, სამკუთხედ ABC-ს ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი შეიცავს 4 სამკუთხედს, ხოლო კათეტებზე აგებული კვადრატები - 2-2 სამკუთხედს.

საუკუნეების განმავლობაში ეს თეორემა მრავალჯერ იქნა დამტკიცებული. ამჟამად იგი არის რეკორდსმენი თეორემა განსხვავებულ დამტკიცებათა რაოდენობის მიხედვით და შესულია გინესის რეკორდების წიგნში. დამტკიცებათა ერთი ნაწილი დაფუძნებულია კვადრატის დაყოფაზე _ ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატი შედგება ნაწილებისგან, რომლებიც აგრეთვე ეკუთვნის კათეტებზე აგებულ კვადრატებსაც; მეორე ნაწილი ეფუძნება ტოლდიდ ფიგურებამდე შევსებას; მესამე ნაწილი კი იმას, რომ მართი კუთხიდან ჰიპოტენუზაზე დაშვებული სიმაღლე სამკუთხედს ჰყოფს მის მსგავს ორ სამკუთხედად.

მოვიყვანოთ თეორემის რამდენიმე დამტკიცება:

პითაგორას დამტკიცებები

 I დამტკიცება. 2 ნახაზზე გამოსახულია ორი ტოლი კვადრატი, თითოეულის გვერდის სიგრზეა  a + b. თითოეული მათგანი დაყოფილია ნაწილებად, რომლებიც შედგება მართკუთხა სამკუთხედებისა და კვადრატებისაგან. ნათლად ჩანს, რომ თუ კვადრატის ფართობს გამოვაკლებთ a და b კათეტების მქონე მართკუთხა სამკუთხედის გაოთხკეცებულ ფართობს, დარჩება ტოლი ფართობები, c² = a² + b² .

ეს დამტკიცება მიეწერება პითაგორას და ეყრდნობა სამკუთხედების მსგავსებას. (ნახ.3).
ABC მართკუთხა სამკუთხედის C  მართი წვეროდან  დავუშვათ CM სიმაღლე. სამკუთხედები ABC, CMB,  ACM  მსგავსია ორი კუთხით (<ACB = <BMC = <CMA, <ABC = <BMC = <MCA).  ABC და ACM სამკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარეობს ტოლობა: AB/AC = AC/MA,  საიდანაც AC² = AB x MA   (1). ABC და CBM სამკუთხედების მსგავსებიდან გამომდინარეობს ტოლობა: AB/CB=CB/MB,  საიდანაც  CB² = AB x MB   (2)                                                                          

(1) და (2) ტოლობების შეკრებით მივიღებთ: AC² + CB² = AB².  ე.ი.  c² = a² + b² .                   
თეორემა დამტკიცებულია.
 

შუასაუკუნეების დამტკიცებები

ბჰასკარის დამტკიცება

ინდოელ მათემატიკოსს ბჰასკარს (ჩვ.წ. XII ს.) თავის ცნობილ წიგნში - ,,მეცნიერების გვირგვინი�,  მოჰყავს დამტკიცება, რომელიც ეყრდნობა ფიგურათა ტოლდიდობას. ეს დამტკიცება შედგება მხოლოდ ნახაზისა და ერთადერთი სიტყვისაგან "უყურე!"

მართლაც, თუ ოთხ ტოლ მართკუთხა სამკუთხედს, რომელთა კათეტებია a და b, ისე განვალაგებთ, როგორც ნახაზზეა ნაჩვენები და შევკრებთ მათ ფართობებსა და ცენტრში მოთავსებული კვადრატის ფართობს, მივიღებთ a² + b². ეს კი დიდი კვადრატის ფართობის c ² -ის ტოლია.  c² = a² + b² .

ნასირ-ედ-დინ-ალ-ტუსის დამტკიცება

XII საუკუნის გამოჩენილი აღმოსავლელი მეცნიერ-ენციკლოპედისტის, ევკლიდეს "საწყისების" არაბულ ენაზე მთარგმნელის - ნასირედდინ-ალ-ტუსის დამტკიცებაც ეყრდნობა ფიგურათა ტოლდიდობას. (ნახ. 5). ABC სამკუთხედის გვერდებზე ავაგოთ  კვადრატები ABGK,    ACED  და BCQN.  გავაგრძელოთ ABGK კვადრატის AK გვერდი, ACED კვადრატის DP გვერდის გაგრძელებასთან  F წერტილში გადაკვეთამდე, ხოლო  ABGK კვადრატის BG  გვერდი  BCQN კვადრატის QN გვერდთან M წერტილში გადაკვეთამდე.  DE და QN გვერდების გაგრძელებები იკვეთება P წერტილში.  რადგან DP||AQ და PN||EB, ხოლო <ECQ=90⁰, როგორც მართი კუთხის ვერტიკალური, ამიტომ ECQP არის მართკუთხედი.  ABC  სამკუთხედის C კუთხის წვეროდან დაშვებული CO სიმაღლე გავაგრძელოთ KG � ს გადაკვეთამდე L წერტილში. L, O, C , P წერტილები ერთ წრფეზეა.

S_KLOA = S_ACPF = S_ACED = a²

S_LGBO = S_CBMP = S_CBNQ = b²

S_AKGB = S_AKLO + S_LGBO = c²

ამრიგად, ვიღებთ:  c² = a² + b² .

თანამედროვე დამტკიცებები

გადიოდა წლები და საუკუნეები. პითაგორას თეორემა გახდა მათემატიკის სასწავლო კურსის ნაწილი. XIII ს-ის დასაწყისში იგი ისწავლებოდა ევროპის ყველა სასწავლო დაწესებულებაში. რუსეთში მას ასწავლიდნენ პეტრე I-ის მიერ დაარსებულ მათემატიკისა და ნავიგაციის სკოლაში.
საოცარია, მაგრამ თითქმის ყველა ასწლეული უმატებდა ახალ-ახალ დამტკიცებებს ამ მრავალჯერ დამტკიცებულ თეორემას.

ტემპელგოფის დამტკიცება

გერმანელი მათემატიკოსის ტემპელგოფის დამტკიცებაში (ნახ. 6) მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებზე აგებულია კვადრატები და ამ ფიგურაზე დამატებულია 1 და 2 სამკუთხედები, რომლებიც საწყისი სამკუთხედის ტოლია (ე.ი. შევსებულია ორ ტოლდიდ ფიგურამდე). პითაგორას თეორემის სამართლიანობა გამომდინარეობს AEDFPBDA და ACBNMQ ექვსკუთხედების ტოლდიდობიდან. აქ EP წრფე ყოფს AEDFPB ექვსკუთხედს ორ ტოლდიდ ოთხკუთხედად, CM წრფე ყოფს ACBNMQ  ექვსკუთხედს ორ ტოლდიდ ოთხკუთხედად.  სიბრტყის მობრუნება A წერტილის გარშემო 90⁰- ით AEPB ოთხკუთხედს ასახავს თავის ტოლ ACMQ ოთხკუთხედში. ტოლდიდ AEDFPB და ACBNMQ ექვსკუთხედებს აქვთ საერთო სამკუთხედები ABC, DCF და QMN , ამიტომ მათი დანარჩენი ნაწილებიც ტოლი იქნება. ე.ი. S_ABNQ = S_AEDC + S_CBPF ,  ანუ c² = a² + b²

გოფმანის დამტკიცება

ეს არასტანდარტული დამტკიცება ხდება ნახაზის მეშვეობით. მასზე არ არის მართკუთხა სამკუთხედის გვერდებზე აგებული კვადრატები (ნახ.7). ABC  სამკუთხედის წვეროებზე გავავლოთ
AD, BE და BF მონაკვეთები ისე, რომ AD2AC, BE 2AB და BF2CB, თან AD=AC, BF=BC და BE=AB. ე.ი. კვადრატების ნაცვლად ავაგეთ მათი ნახევრები. F, C, D წერტილები ერთ წრფეზეა; ADFB და ACBE ოთხკუთხედები ტოლდიდია, რადგან  ∆ ABF = ∆ ECB;  ADF და ACE სამკუთხედებიც ტოლდიდია. ორივე ოთხკუთხედიდან საერთო ABC სამკუთხედის გამოკლებით მივიღებთ:     a²/2 + b²/2 = c²/2, ანუ  c² = a² + b² .

ალგებრული დამტკიცება
 

ყველა ზემოთხსენებული დამტკიცება ეყრდნობა ფიგურათა ტოლდიდობას ან ტოლშემცველობას. თუმცა არსებობს ალგებრული დამტკიცებაც. განვიხილოთ ერთ-ერთი მათგანი - მიოლმანის დამტკიცება (ნახ.8):

მოცემულ სამკუთხედში ჩახაზულია წრეწირი, რომლის რადიუსია r, ხოლო p - ნახევარპერიმეტრი.
გავავლოთ რადიუსები წრეწირთან შეხების წერტილებში. ABC სამკუთხედის ფართობი ერთის
მხრივ ტოლია ab / 2, მეორეს მხრივ - rp / 2.  r = (a + b _c)/2 . ე.ი. S = (a+b-c)/2 * (a+b+c)/2  = ab / 2,  აქედან კი  c² = a² + b² .

ზოგჯერ საკმარისია შევხედოთ ნახაზს, რომ მივხვდეთ მის დამტკიცებას. X საუკუნის ბაღდადელმა მათემატიკოსმა და ასტრონომმა ან-ნაირიზმ (ლათინურად ანარიცმა) წარმოადგინა ასეთი დამტკიცება (ნახ.9). ამავე დამტკიცებას ეფუძნება XIX-XX ს-ების სახელმძღვანელოებში გაჩენილი დამტკიცება წყვილ-წყვილად ტოლ ფიგურებად დაყოფის გზით.

აი, კიდევ ერთი დამტკიცება (ნახ.11): პითაგორას სამკუთხედი შევსებულია მართკუთხედამდე. მას ჯერ გამოვაკლოთ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ფიგურები, მივიღებთ ჰიპოტენუზაზე აგებულ კვადრატს. ხოლო ამავე მართკუთხედს თუ გამოვაკლებთ 5, 6, 7 და დაშტრიხულ მართკუთხედებს, მივიღებთ კათეტებზე აგებულ კვადრატებს (9 და 8). ეს ამტკიცებს, რომ ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის ფართობი ტოლია კათეტებზე აგებული კვადრატების ფართობების ჯამის.

აინშტაინის დამტკიცება (ნახ.12)

ეს დამტკიცება ეფუძნება ჰიპოტენუზაზე აგებული კვადრატის დაყოფას 8 სამკუთხედად. ევკლიდეს დამტკიცება გეომეტრიის ცნობილ სახელმძღვანელოში `საწყისები� ევკლიდეს მოჰყავს პითაგორას თეორემის რვა დამტკიცება (ნახ. 13- 20).

 

პითაგორის თეორემის მნიშვნელობა

პითაგორას თეორემა საფუძვლად უდევს ბევრ გეომეტრიულ გამოთვლას. ჯერ კიდევ ძველ ბაბილონში მისი საშუალებით ანგარიშობდნენ ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლეს მისი ფუძისა და გვერდის მიხედვით; წრის დიამეტრისა და ქორდის სიგრძის მიხედვით - სეგმენტის სხივს; სხვადასხვა წესიერი მრავალკუთხედების ელემენტებს შორის კავშირს; ამ თეორემის მიხედვით მტკიცდება მისი განზოგადებაც, რაც მახვილი ან ბლაგვი კუთხის პირდაპირ მდებარე გვერდის სიგრძის განსაზღვრის საშუალებას იძლევა: c² = a² + b²  � 2ab cos C.

ამ ფორმულიდან გამომდინარეობს d₁² + d₂² = 2(a² + b²) -  პარალელოგრამის დიაგონალებსა და გვერდებს შორის კავშირი, საიდანაც ადვილია სამკუთხედის მედიანის სიგრძის გამოთვლა მისის გვერდების მიხედვით.

პითაგორას თეორემაზე დაყრდნობით გამოდის ე.წ. ჰერონის ფორმულა - სამკუთხედების ფართობის გამოსათვლელი ფორმულა მისი გვერდების სიგრძეების მიხედვით. ცხადია, ამ თეორემას იყენებდნენ პრაქტიკული ამოცანების გადაჭრისთვისაც.

მართკუთხა სამკუთხედის კათეტებზე კვადრატების ნაცვლად შეიძლება აიგოს ნებისმიერი მსგავსი ფიგურები (ტოლგვერდა სამკუთხედები, ნახევარწრეები და ა.შ.). ამასთან, ჰიპოტენუზაზე აგებული ფიგურის ფართობი ყოველთვის ტოლია კათეტებზე აგებული ფიგურების ფართობთა ჯამის.
პითაგორას თეორემა გვხვდება მხოლოდ ევკლიდეს გეომეტრიაში. იგი არ არის მოყვენილი არც ლობაჩევსკის, არც სხვა არაევკლიდურ გეომეტრიაში. ამ თეორემით იანგარიშება საკოორდინატო სიბრტყეზე ორ ნებისმიერ წერტილს M(x₁; y₁) და N(x₂; y₂) შორის მანძილი:

ეს თეორემა დღესაც არ კარგავს თავის მნიშვნელობას და ალბათ, მის მრავალრიცხოვან დამტკიცებებს კიდევ ბევრი ორიგინალური დამტკიცებაც დაემატება.
 

XI²  კლასის მოსწავლე
ანზორ მეხრიშვილი